５×５の魔方陣の研究

『５×５の魔方陣の研究』

↑のタイトルは僕の卒論のタイトルなんだけど、もっとかっこ良かったような気もするけど、あまりに昔の事で忘れてしまった。

この間、ひょんな事からSupernovaeさんと卒論の話になり、僕の卒論の事を記事に出来たらする、みたいな事を言っちゃったんよね。

で、ほとんど記憶にないので、ろくな事は書けそうにないけど、書いてみるね。

魔方陣というのは、まず縦にも横にも同じ数の升目のある正方形の枡目を用意するんよね。

縦も横も同じだから升目の数はｎの二乗個あることになる。

で、まずｎが２の場合は２の２乗で４個。

同じようにｎが３の場合は９個。

４の場合は１６個。

５の場合は２５個というようになる。

で、魔方陣というのは、その升目に１から順番に数字を入れていって全部の升目をうめた時に、列の合計、行の合計、対角線上の合計が等しくなるものなんだ。

その、それぞれの合計がいくらになるかの一般式は

となる。

ｎが２の場合の２×２の魔方陣は存在しない。

２×２の方陣の基本パターンは↓の３種類しかなくて、この３種類は魔方陣になってないのがすぐに分かるよね。

１	２
３	４

１	２
４	３

１	３
４	２

基本パターンというのは、９０度、１８０度、２７０度回転させた物と鏡に映したものは基本パターンと同じとみなすって意味なんだ。

ｎが３のときの３×３の魔方陣は基本パターンが１種類だけ存在する。

８	１	６
３	５	７
４	９	２

←基本パターンは、これだけだけど、回転と反転で８種類あることになる。

各列、各行、対角線の枡の数の合計が１５になってる。

で、４×４の魔方陣は存在するんだけど、いきなり８８０個も存在する。

回転させたものと、鏡に映したものは同じだとみなす基本パターンは、その八分の一だから１１０個ってことだね。

↓これが４×４の魔方陣の一例。各々の合計は３４。

１	１５	１４	４
１２	６	７	９
８	１０	１１	５
１３	３	２	１６

で、僕がその昔ちんたら探した５×５の魔方陣なんだけど、ちょっとネットで検索してみたら今では２億７５３０万５２２４通りあることが分かってるらしい。

こんな計算はコンピューターなら簡単なんだろうけど、昔はそんなまさしく天文学的数字を手作業で求めることは出来なかったんだよね(^_^;)

コンピューターがあっても、誰も魔方陣を求めるソフトなど作らなかったんだと思う。

ただ現在でも、どうして２億７５３０万５２２４通りになるのかは分かってないらしい。

で、肝心の５×５の魔方陣の作り方なんだけど、「コア積み上げ法」という方法を使って、多分、何千個か何万個かは見つけたと思うんだけど、その数は定かじゃないんだよなぁ…(^_^;)

で、「コア積み上げ法」というのがどんなだったかを思い出そうとしてるんだけど、今一、きれいに説明できる感じじゃ思い出せないので、また次回ということにするよ。

なんだか、魔方陣の基礎の基礎だけの説明だけに終わってしまったな(^^ゞ

でも、とりあえずｎが奇数のときには、すぐに作れる方法で一つだけ５×５の魔方陣を書いておくね。

１７	２４	１	８	１５
２３	５	７	１４	１６
４	６	１３	２０	２２
１０	１２	１９	２１	３
１１	１８	２５	２	９

各々の合計は６５だよ。